Arguments et module de l'opposé et du conjugué

P roposition

Soit  $z$ un nombre complexe non nul. On a :

• $|-z|=\left|z\right|$
  
• $\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$
  
• $|-\bar{z}|=\left|z\right|$
  

 Et :

• $\arg (-z)\equiv \arg (z)+\pi [2\pi ]$
  
• $\arg (\bar{z})\equiv -\arg (z)[2\pi ]$
  
• $\arg (-\bar{z})\equiv -\arg (z)+\pi [2\pi ]$
  

Démonstration

On considère les points suivants du plan complexe :

• $\text{M}(z)$ ;
  
• ${\text{M}}^{\prime }(-z)$ ; symétrique de  $\text{M}$ par rapport à l'origine  $\text{O}$ ;
  
• $\text{N}(\bar{z})$ ; symétrique de  $\text{M}$ par rapport à l'axe des abscisses ;
  
• ${\text{N}}^{\prime }(-\bar{z})$ ; symétrique de  $\text{N}$ par rapport à l'axe des ordonnées.
  

Il est clair que $\text{O}\text{M}=\text{O}{\text{M}}^{\prime }=\text{O}\text{N}=\text{O}\text{N}$ , autrement dit $\left|z\right|=|-z|=\left|\bar{z}\right|=|-\bar{z}|$ .
Par symétrie par rapport à l'origine  $\text{O}$ ,  $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{O}{\text{M}}^{\prime }})\equiv (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{O}\text{M}})+\pi [2\pi ]$ ,  autrement dit $\arg (-z)\equiv \arg (z)+\pi [2\pi ]$ .

Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{O}\text{N}})\equiv -(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{O}\text{M}})[2\pi ]$ , autrement dit $\arg (\bar{z})\equiv -\arg (z)[2\pi ]$ .

Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{O}{\text{N}}^{\prime }})\equiv \pi -(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{O}\text{M}})[2\pi ]$ , autrement dit  $\arg (-\bar{z})\equiv -\arg (z)+\pi [2\pi ]$ .